Spearmans Rangkorrelation

Die Spearmans Rangkorrelation ist eines der bekanntesten Maße, um den Zusammenhang zwischen zwei Variablen zu bewerten, wenn die Daten ordinal skaliert oder nicht normal verteilt sind.

Was ist Spearmans Rangkorrelation?

Spearmans Rangkorrelation, oft mit $\rho$ (rho) oder $r_s$ abgekürzt, ist ein nicht-parametrisches (d.h. verteilungsfreies) Zusammenhangsmaß. Es misst die Stärke und Richtung des Zusammenhangs zwischen zwei Variablen basierend auf deren Rangplätzen, nicht auf den absoluten Werten. Das macht es robust gegenüber Ausreißern und geeignet für nicht-normal verteilte Daten.

Der Wertebereich liegt zwischen -1 und +1:

• +1: Perfekter positiver Zusammenhang (höhere Werte bei Variable A gehen mit höheren Werten bei Variable B einher).
• -1: Perfekter negativer Zusammenhang (höhere Werte bei Variable A gehen mit niedrigeren Werten bei Variable B einher).
• 0: Kein Zusammenhang.

Absolute Werte um 0.3 sind schwache Rangkorrelationen, Werte um 0.5 mittelstarke Rangkorrelationen und Werte um 0.7 starke Rangkorrelationen.

Bei der Interpretation solltest du die RIchtung (positiv/negativ), die Stärke (absoluter Wert) und ggf. die statistische Signifikanz berücksichtigen.

Wann wird Spearmans Rangkorrelation eingesetzt?

Spearmans Rangkorrelation wird verwendet, wenn:

• Die Daten ordinal skaliert sind (z. B. Schulnoten, Ranglisten).
• Die Daten nicht-normal verteilt sind, aber ein Zusammenhang untersucht werden soll.
• Ausreißer in den Daten vorhanden sind, die das Ergebnis eines parametrischen Tests wie der Pearson-Korrelation verzerren könnten.

Beispiele:

• Zusammenhang zwischen der Zufriedenheit mit einem Produkt (auf einer Skala von 1 bis 5) und der Weiterempfehlungswahrscheinlichkeit.
• Vergleich der Leistung von Schüler*innen in zwei unterschiedlichen Prüfungen anhand ihrer Rangplätze.

Vorteile und Grenzen

Vorteile:

• Robust gegenüber Ausreißern.
• Für ordinal skalierte Daten geeignet.
• Einfach zu interpretieren.

Grenzen:

• Keine Aussage über kausale Zusammenhänge.

Wie wird Spearmans Rangkorrelation berechnet?

Vorgehen

Die Berechnung erfolgt in fünf Schritten:

1. Daten in Ränge umwandeln: Die Werte der beiden Variablen $X$ und $Y$ werden in Ränge transformiert. Bei Bindungen (gleiche Werte) erhält jeder Wert den Durchschnittsrang.
2. Rangdifferenzen berechnen: Für jedes Wertepaar wird die Differenz zwischen den Rängen von $X$ und $Y$ berechnet: $d_i = R(X_i) – R(Y_i)$
3. Quadrate der Rangdifferenzen bilden: Die Rangdifferenzen $d_i$ werden quadriert: $d_i^2$
4. Formel anwenden: Die Spearmans Rangkorrelation wird berechnet mit: $r_s = 1 – \frac{6 \sum d_i^2}{n(n^2 – 1)}$ Hierbei ist $n$ die Anzahl der Beobachtungen.
5. Ergebnisse interpretieren: Ein positiver Wert zeigt einen positiven Zusammenhang, ein negativer Wert einen negativen.

Ein Beispiel mit einer perfekten Rangkorrelation

Angenommen, wir möchten untersuchen, ob es einen Zusammenhang zwischen der Stundenanzahl, die Studierende lernen ($X$), und ihrer Prüfungsnote ($Y$) gibt. Die Daten könnten so aussehen:

Student	Lernstunden ($X$)	Note ($Y$)
A	10	2.3
B	8	2.7
C	6	3.0
D	4	4.0
E	2	5.0

Zuerst berechnen wird die Ränge:

Student	$X$	Rang $X$	$Y$	Rang $Y$
A	10	1	2.3	1
B	8	2	2.7	2
C	6	3	3.0	3
D	4	4	4.0	4
E	2	5	5.0	5

Dann berechnen wir die Rangdifferenzen und deren Quadrate:

Student	Rang $X$	Rang $Y$	$d_i = R(X) – R(Y)$	$d_i^2$
A	1	1	0	0
B	2	2	0	0
C	3	3	0	0
D	4	4	0	0
E	5	5	0	0

Die Summe von $d_i^2 = 0$.

Dann wird die eigentliche Rangkorrelation berechnet: $r_s = 1 – \frac{6 \cdot 0}{5 \cdot (5^2 – 1)} = 1$ In diesem Fall gibt es einen perfekten positiven Zusammenhang (was einem auch schon vorher auffällt, wenn man die Spalten $X$ und $Y$ ordnet).

Ein Beispiel mit schwacher Rangkorrelation

Wir untersuchen den Zusammenhang zwischen der Anzahl von Sportstunden pro Woche ($X$) und der Zufriedenheit mit der eigenen Fitness ($Y$) auf einer Skala von 1 (sehr unzufrieden) bis 10 (sehr zufrieden).

Person	Sportstunden ($X$)	Zufriedenheit ($Y$)
A	8	9
B	6	7
C	5	6
D	4	5
E	3	4
F	2	8
G	1	3

Ränge berechnen:

Person	$X$	Rang $X$	$Y$	Rang $Y$
A	8	1	9	1
B	6	2	7	3
C	5	3	6	4
D	4	4	5	5
E	3	5	4	6
F	2	6	8	2
G	1	7	3	7

Rangdifferenzen berechnen:

Person	Rang $X$	Rang $Y$	$d_i = R(X) – R(Y)$	$d_i^2$
A	1	1	0	0
B	2	3	-1	1
C	3	4	-1	1
D	4	5	-1	1
E	5	6	-1	1
F	6	2	4	16
G	7	7	0	0

$\sum d_i^2 = 20$

Rangkorrelation berechnen:

Die Formel lautet: $r_s = 1 – \frac{6 \sum d_i^2}{n(n^2 – 1)}$

Einsetzen der Werte:

• $n = 7$ (Anzahl der Personen)
• $\sum d_i^2 = 20$

$r_s = 1 – \frac{6 \cdot 20}{7 \cdot (7^2 – 1)} = 1 – \frac{120}{7 \cdot 48} 1 – \frac{120}{336} = 0.357$

Die Spearmans Rangkorrelation beträgt $r_s = 0.357$, was auf einen schwachen positiven Zusammenhang zwischen der Anzahl der Sportstunden und der Zufriedenheit mit der Fitness hindeutet.

Dieses Beispiel zeigt, dass die Zufriedenheit mit der Fitness zwar tendenziell mit mehr Sportstunden steigt, jedoch auch einige Abweichungen (z. B. bei Person F) bestehen.

Spearman Rangkorrelation berechnen mit R

In R lässt sich die Spearmans Rangkorrelation einfach mit der Funktion cor() berechnen. Dabei muss der Parameter method auf "spearman" gesetzt werden. Beispiel:

# Daten
x <- c(8, 6, 5, 4, 3, 2, 1)
y <- c(9, 7, 6, 5, 4, 8, 3)

# Spearman-Korrelation
cor(x, y, method = "spearman")

Das Ergebnis liefert den Wert der Rangkorrelation. Für größere Datensätze ist auch die Verwendung von Datenrahmen möglich.

Spearman Rangkorrelation berechnen mit SPSS

In SPSS kannst du die Spearmans Rangkorrelation über die Menüs berechnen:

1. Wähle Analysieren > Korrelation > Bivariat.
2. Ziehe die interessierenden Variablen in die Eingabefelder.
3. Aktiviere das Kästchen Spearman und klicke auf OK. Das Ergebnis erscheint in der Ausgabeansicht und zeigt die Korrelationsmatrix mit den Spearman-Koeffizienten.

Spearman Rangkorrelation berechnen mit PSPP

In PSPP, der Open-Source-Alternative zu SPSS, ist die Berechnung ähnlich:

1. Gehe zu Analyse > Korrelationen > Bivariat.
2. Wähle die Variablen, die analysiert werden sollen.
3. Aktiviere Spearman als Korrelationstyp und klicke auf OK. Die Ergebnisse werden in der Ausgabe angezeigt, analog zu SPSS.

Spearman Rangkorrelation berechnen mit JASP

In JASP ist die Berechnung der Spearmans Rangkorrelation besonders intuitiv:

1. Lade deine Daten und wähle Regression > Korrelationen.
2. Ziehe die gewünschten Variablen in das Analysefeld.
3. Aktiviere die Option Spearman. Das Ergebnis erscheint direkt als Tabelle und kann inklusive Visualisierung exportiert werden.

Fazit

Spearmans Rangkorrelation ist ein vielseitiges und einfach anzuwendendes Maß, um Zusammenhänge zwischen zwei ordinalen Variablen oder nicht-normal verteilten metrischen Daten zu analysieren. Es liefert eine wertvolle Alternative zu parametrischen Methoden wie der Pearson-Korrelation und ist besonders nützlich in der Sozial- und Verhaltensforschung.