Klausuraufgaben t-Test

Angabe

Fallbeschreibung

Ziel dieser Studie war es zu untersuchen, ob ein zweiwöchiges Achtsamkeitstraining das subjektive Stressniveau von Studierenden signifikant senkt. Dafür wurde eine Stichprobe von N = 20 Bachelorstudierenden rekrutiert, die ihr Stressniveau jeweils vor und nach dem Training auf einer Skala von 1 (sehr niedrig) bis 10 (sehr hoch) einschätzten. Die Daten wurden als gepaarte Stichprobe analysiert. Es wurden ein t-Test für abhängige Stichproben, diagnostische Voraussetzungen (Normalverteilung, Varianzgleichheit) sowie ein nichtparametrischer Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test durchgeführt. Ziel war es, sowohl die Effektivität des Trainings als auch die Eignung der verwendeten Testverfahren kritisch zu evaluieren.

R-Skript

set.seed(123)
stress_vorher <- rnorm(20, mean = 7, sd = 1)
stress_nachher <- stress_vorher - rnorm(20, mean = 0.8, sd = 0.5)
daten <- data.frame(stress_vorher, stress_nachher)

# Datenüberblick
head(daten)

# Voraussetzungen prüfen
shapiro.test(daten$stress_vorher)
shapiro.test(daten$stress_nachher)
var.test(daten$stress_vorher, daten$stress_nachher)

# T-Test für abhängige Stichproben
t.test(daten$stress_vorher, daten$stress_nachher, paired = TRUE)

# Wilcoxon-Test
wilcox.test(daten$stress_vorher, daten$stress_nachher, paired = TRUE)

Output

Datenüberblick:

stress_vorherstress_nachher
7.4395246.937332
6.7698235.777982
7.5587086.764638
8.0705086.985201
6.1292885.318256
6.7150655.758218

Shapiro-Wilk-Test auf Normalverteilung:

  • Vorher: W = 0.969, p = 0.681
  • Nachher: W = 0.975, p = 0.787

F-Test auf Varianzhomogenität:

  • F = 0.963, p = 0.930

T-Test (abhängige Stichproben):

  • t = 5.201, df = 19, p < 0.001
  • 95%-Konfidenzintervall: [0.662, 1.391]
  • Mittelwert der Differenzen: 1.027

Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test:

  • V = 193, p < 0.001

Fragen

Interpretation des Outputs

  1. Was zeigt der t-Test im Hinblick auf die Wirkung des Achtsamkeitstrainings?
  2. Wie interpretieren Sie das 95%-Konfidenzintervall des t-Tests?
  3. Welche Aussage erlaubt der Wilcoxon-Test im Vergleich zum t-Test?

Theoretische und methodische Grundlagen

  1. Nennen Sie die Null- und Alternativhypothese des t-Tests für abhängige Stichproben in diesem Fall.
  2. Welche Voraussetzungen müssen erfüllt sein, damit der t-Test für abhängige Stichproben valide Ergebnisse liefert?
  3. Welche Rolle spielt die Prüfung der Varianzhomogenität bei gepaarten t-Tests?

Reflexion und Anwendung

  1. Angenommen, die Shapiro-Wilk-Tests hätten signifikante p-Werte geliefert – wie hätten Sie methodisch korrekt reagieren müssen?
  2. Diskutieren Sie anhand dieses Beispiels, wann es sinnvoll ist, zusätzlich zum t-Test auch den Wilcoxon-Test durchzuführen.

Musterlösung

Interpretation des Outputs

Was zeigt der t-Test im Hinblick auf die Wirkung des Achtsamkeitstrainings?

Der t-Test für abhängige Stichproben zeigt einen signifikanten Unterschied zwischen dem Stressniveau vor und nach dem Achtsamkeitstraining (t = 5.201, p < 0.001). Dies spricht dafür, dass das Training zu einer signifikanten Reduktion des subjektiven Stresses bei den Teilnehmenden geführt hat.

Wie interpretieren Sie das 95%-Konfidenzintervall des t-Tests?

Das Konfidenzintervall [0.662, 1.391] gibt an, dass mit 95%iger Wahrscheinlichkeit die wahre mittlere Stressreduktion in der Population zwischen 0.662 und 1.391 Punkten auf der Skala liegt. Da das Intervall keine Null enthält, unterstützt es die Signifikanz des Effekts.

Welche Aussage erlaubt der Wilcoxon-Test im Vergleich zum t-Test?

Der Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test bestätigt ebenfalls einen signifikanten Unterschied (V = 193, p < 0.001). Als nichtparametrisches Verfahren ist er unabhängig von der Normalverteilungsannahme und dient als robuste Ergänzung zum t-Test. Das Ergebnis stärkt somit die Aussagekraft der Analyse.

Theoretische und methodische Grundlagen

Null- und Alternativhypothese des t-Tests:

  • H0: Es gibt keinen Unterschied im durchschnittlichen Stressniveau vor und nach dem Training (Mittelwertsdifferenz = 0).
  • H1: Es gibt einen Unterschied im durchschnittlichen Stressniveau vor und nach dem Training (Mittelwertsdifferenz ≠ 0).

Voraussetzungen für den t-Test bei abhängigen Stichproben:

  1. Differenzen zwischen Messzeitpunkten sind normalverteilt (geprüft mit Shapiro-Wilk-Test).
  2. Intervallskalenniveau der Messwerte.
  3. Keine Ausreißer mit starker Verzerrung der Verteilung.

Rolle der Varianzhomogenität:

Die Varianzhomogenität ist bei gepaarten t-Tests nicht erforderlich, da hier die Differenzen betrachtet werden. Die Varianzprüfung ist daher methodisch nicht zwingend notwendig, wird aber manchmal trotzdem durchgeführt.

Reflexion und Anwendung

Was tun bei signifikanter Normalitätsverletzung?

Wenn die Shapiro-Wilk-Tests signifikant gewesen wären, hätte man die Annahme der Normalverteilung verletzt gesehen. In diesem Fall wäre ein nichtparametrischer Test wie der Wilcoxon-Test angemessen, da er keine Verteilungsannahmen macht.

Wann ist der Wilcoxon-Test sinnvoll?

Der Wilcoxon-Test bietet sich an:

  • bei kleinen Stichproben (wie hier N = 20), wo Normalität schwer zu beurteilen ist,
  • bei erkennbaren Ausreißern oder Schiefe in den Differenzen,
  • zur Absicherung der Ergebnisse des t-Tests (robuste Sensitivitätsanalyse).

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