Einführung in die Item-Response-Theorie (IRT)

Die Item-Response-Theorie (IRT) ist eine moderne Methode zur Entwicklung und Analyse psychometrischer Tests, die insbesondere in der Psychologie und den Sozialwissenschaften breite Anwendung findet. Im Gegensatz zur klassischen Testtheorie (KTT), die Annahmen über die Testwerte und Messfehler trifft, fokussiert die IRT auf die Beziehung zwischen den Testantworten und den dahinterliegenden Eigenschaften der getesteten Person.

Was ist die Item-Response-Theorie?

Die Item-Response-Theorie (IRT) oder auch probabilistische Testtheorie beschreibt die Wahrscheinlichkeit, mit der eine Person ein bestimmtes Testitem richtig beantwortet. Diese Wahrscheinlichkeit hängt von zwei zentralen Faktoren ab: der Fähigkeit der Person und der Schwierigkeit des Items. Diese Theorie eröffnet eine differenzierte Perspektive auf Testantworten und hilft dabei, Tests präziser zu gestalten.

Definition: Item-Response-Theorie (IRT): Ein psychometrisches Modell, das die Beziehung zwischen den Antworten auf Testitems und den zugrundeliegenden Fähigkeiten oder Eigenschaften der getesteten Personen untersucht.

Messung in der IRT vs. Klassische Testtheorie (CTT)

In der CTT wird davon ausgegangen, dass ein beobachteter Wert eine Mischung aus einem „wahren“ Wert und einem Messfehler ist. Das Ziel ist es, den Fehleranteil zu minimieren, um eine höhere Reliabilität zu erreichen. Allerdings geht die CTT davon aus, dass alle Items gleichwertig sind, was dazu führen kann, dass Unterschiede zwischen einzelnen Testpersonen nicht immer genau erfasst werden.

Die IRT hingegen verwendet wahrscheinlichkeitstheoretische Modelle, die Unterschiede in der Schwierigkeit und Diskriminationsfähigkeit jedes Items berücksichtigen. Das bedeutet, dass die IRT genauere Schätzungen über das zugrunde liegende Merkmal (z. B. Schmerzintensität) ermöglicht, indem sie das Antwortmuster der Testperson und die spezifischen Eigenschaften jedes Items einbezieht.

Grundannahmen der IRT

Die IRT basiert auf einigen wesentlichen Annahmen, die sie von der klassischen Testtheorie unterscheiden:

Items als Indikatoren latenter Merkmale
Jedes Item in einem Test wird als Indikator für eine latente Fähigkeit oder Eigenschaft angesehen. Diese latenten Merkmale sind nicht direkt beobachtbar, sondern nur durch die Antworten der Person auf die Items indirekt messbar.
Einfluss von Fähigkeit und Schwierigkeit
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person ein Item richtig beantwortet, hängt sowohl von der Fähigkeit der Person als auch von der Schwierigkeit des Items ab. Je höher die Fähigkeit und je niedriger die Schwierigkeit, desto wahrscheinlicher ist eine korrekte Antwort.
Eindimensionalität und lokale Unabhängigkeit
Ein Test wird als eindimensional betrachtet, wenn alle Items dasselbe latente Merkmal messen. Zudem wird angenommen, dass die Antworten auf die Items unabhängig voneinander sind, sobald das latente Merkmal berücksichtigt wird (lokale Unabhängigkeit).

Die Bedeutung von Personen- und Itemparametern

In der IRT sind Personenparameter und Itemparameter zentrale Konzepte:

Personenparameter ($theta$, Theta) repräsentieren die Fähigkeit oder Eigenschaft einer Person in Bezug auf das latente Merkmal.
Itemparameter beschreiben spezifische Eigenschaften der Items, wie z. B. deren Schwierigkeit ($b$).

Wichtig sind vor allem:

Item-Schwierigkeit: Die Schwierigkeit beschreibt den Punkt auf dem Fähigkeitskontinuum, an dem eine Person eine 50-prozentige Wahrscheinlichkeit hat, ein Item richtig zu beantworten. Dieser Punkt wird als der „Medianwert“ bezeichnet und liegt dort, wo Personen mit mittlerem Fähigkeitsniveau gerade noch eine korrekte Antwort geben können.

Item-Diskrimination: Die Diskrimination gibt an, wie empfindlich ein Item auf Unterschiede in den Fähigkeitsniveaus reagiert. Ein Item mit hoher Diskrimination kann sehr feine Unterschiede erkennen und hilft daher dabei, Personen präziser einzuordnen.

Ein klassisches Beispiel für die Berechnung der Itemwahrscheinlichkeiten ist das dichotome Rasch-Modell, das verwendet wird, wenn die Antwortmöglichkeiten der Items binär sind (z. B. richtig/falsch).

Formel im Rasch-Modell:
Die Wahrscheinlichkeit $P(X = 1|theta)$ für eine korrekte Antwort auf ein Item wird wie folgt berechnet:

$$P(X_{ni} = 1) = \frac{e^{\theta_n – \beta_i}}{1 + e^{\theta_n – \beta_i}}$$

Dabei gilt:

$\theta_n$: Fähigkeitsparameter des Probanden $n$
$\beta_i$: Schwierigkeitsparameter des Items $i$

Beispiel: Stell dir vor, du entwickelst einen Intelligenztest mit mehreren Items. Ein Item könnte beispielsweise die Schwierigkeit haben, eine mathematische Aufgabe zu lösen. Nehmen wir an, Lisa, eine Testperson, hat eine Fähigkeit ($theta$) von 1, während das Item eine Schwierigkeit ($b$) von 0,5 hat. In diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit, dass Lisa das Item korrekt beantwortet, höher als 50 %, da ihre Fähigkeit über der Schwierigkeit des Items liegt.

Modelle der Item-Response-Theorie

Innerhalb der IRT gibt es verschiedene Modelle, die sich in ihrer Komplexität und ihrem Einsatzbereich unterscheiden:

1. Rasch-Modell

Dichotom: Das Rasch-Modell ist das einfachste IRT-Modell und wird meist für Items mit zwei Antwortmöglichkeiten (z. B. ja/nein) verwendet. Es schätzt nur einen Parameter, die Item-Schwierigkeit.
Hierbei nimmt die Wahrscheinlichkeit einer richtigen Antwort zu, wenn das Fähigkeitsniveau der Testperson die Schwierigkeit des Items übersteigt. Das Rasch-Modell wird oft im Bildungsbereich und in der Psychometrie genutzt.

2. Zwei-Parameter-Modell

Dieses Modell fügt einen zweiten Parameter hinzu, die Diskrimination. Damit kann man erfassen, wie gut ein Item zwischen Personen mit unterschiedlichen Fähigkeitsniveaus unterscheidet. Ein hohes Diskriminationsniveau bedeutet, dass das Item feinere Unterschiede auf dem Fähigkeitskontinuum erkennen kann.

3. Drei-Parameter-Modell

Hier wird ein dritter Parameter, das Raten oder Guessing eingeführt, der die Wahrscheinlichkeit abbildet, dass eine Person die richtige Antwort rät. Dies ist besonders bei Multiple-Choice-Fragen relevant und spiegelt wider, dass das Raten die Genauigkeit der Messergebnisse beeinflussen kann.

Definition: Diskriminationsparameter: Ein Maß dafür, wie gut ein Item zwischen Personen mit unterschiedlichen Fähigkeiten differenziert.

Wahrscheinlichkeitsbasierter Ansatz der IRT

IRT berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person eine bestimmte Antwort gibt, basierend auf ihrem Fähigkeitsniveau und den Charakteristika des Items. Beispielsweise wird eine Person mit hohem Fähigkeitsniveau eher in der Lage sein, ein schwieriges Item zu lösen als eine Person mit niedrigerem Fähigkeitsniveau.

In der Praxis schätzt IRT die Wahrscheinlichkeiten für jede Antwort auf einem kontinuierlichen Spektrum für jedes Item und jedes Fähigkeitsniveau. Dadurch entsteht ein Modell, das nicht nur aufzeigt, ob eine Aufgabe gelöst wird, sondern auch, wie die Schwierigkeit und Diskrimination des Items mit den Fähigkeitsniveaus der Testpersonen zusammenhängen.

IRT-Information und Reliabilität

In der IRT wird der Begriff der Reliabilität als Information neu definiert. Information zeigt an, wie präzise ein Item oder ein Test verschiedene Fähigkeitsniveaus abbildet. Die Information ist dort am höchsten, wo Items am besten zwischen unterschiedlichen Fähigkeitsstufen unterscheiden, und nimmt ab, wenn das Fähigkeitsniveau stark von der Item-Schwierigkeit abweicht.

Dieser Ansatz hat den Vorteil, dass er die Messgenauigkeit nicht über alle Fähigkeitsniveaus hinweg mittelt (wie es in der CTT der Fall ist). Stattdessen kann die IRT genau bestimmen, bei welchen Fähigkeitsstufen die Messung besonders präzise ist. Informationsfunktionen können sowohl für einzelne Items als auch für den gesamten Test erstellt werden, um zu zeigen, wo der Test gut funktioniert.

Vorteile und Anwendungen der IRT

Die IRT bietet zahlreiche Vorteile gegenüber der klassischen Testtheorie:

1. Skalenentwicklung und -bewertung:

Die IRT ist ein wertvolles Werkzeug zur Auswahl und Entwicklung von Skalen. Durch die Analyse der Informationsfunktion kann sichergestellt werden, dass die Skalen insbesondere in den relevanten Fähigkeitsbereichen präzise messen. Zum Beispiel sollte eine Skala zur Messung von klinischer Depression besonders gut im Bereich von mittlerer bis hoher Depressionsstärke messen.

2. Skalenausrichtung und -verlinkung:

IRT kann dabei helfen, unterschiedliche Skalen, die dasselbe Konstrukt messen, aufeinander abzustimmen. Dies ist nützlich in Metaanalysen oder Längsschnittstudien, bei denen verschiedene Instrumente verwendet wurden. Durch die Zuordnung von Werten aus verschiedenen Skalen zu einem gemeinsamen Maßstab ermöglicht die IRT sinnvolle Vergleiche zwischen den Studien.

3. Computer-adaptive Tests (CAT):

Der CAT-Ansatz optimiert die Testdurchführung, indem er Fragen auswählt, die auf das Fähigkeitsniveau der Testperson abgestimmt sind. Basierend auf den ersten Antworten wird der Test so angepasst, dass die Items zunehmend besser zu den Fähigkeiten der Testperson passen. Dies reduziert die Anzahl der benötigten Fragen für eine genaue Einschätzung, wodurch die Belastung durch den Test verringert und die Messgenauigkeit erhöht wird.

Grafiken zur Veranschaulichung der Item-Response-Kurve

Zur Darstellung der Item-Response-Kurve für ein Item kannst du folgende R-Codes verwenden:

# R-Code zur Visualisierung der Item-Response-Funktion für ein Rasch-Modell
theta <- seq(-3, 3, length.out = 100)
b <- 0.5  # Item-Schwierigkeit

# Berechnung der Antwortwahrscheinlichkeiten
p <- exp(theta - b) / (1 + exp(theta - b))

# Plot
plot(theta, p, type = "l", lwd = 2, ylab = "Antwortwahrscheinlichkeit", 
     xlab = expression(theta), main = "Item-Response-Funktion (Rasch-Modell)")
abline(h = 0.5, col = "red", lty = 2)

Praktische Anwendung der IRT in der Psychologie

Ein Beispiel für die praktische Anwendung der IRT ist die Entwicklung von Persönlichkeitsfragebögen. Ein solcher Fragebogen könnte Items enthalten, die das Selbstbewusstsein messen. Die IRT-Analyse hilft dabei, Items zu identifizieren, die am besten zwischen Menschen mit unterschiedlichen Niveaus an Selbstbewusstsein differenzieren. Die Analyse könnte zudem zeigen, dass bestimmte Items besonders geeignet sind, hohe oder niedrige Selbstbewusstseinswerte zu erfassen.